Question

如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）

（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当AB的长为，∠CEF=90°时，求二面角A-EF-C的大小．

Answer

（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面DCF中三条已知直线与AE都不平行，故我们要考虑在平面DCF中做一条与AE可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要求二面角的大小，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的大小，进而给出二面角的大小．
【解析】
（1）过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，
可得四边形BCGE为矩形，
又四边形ABCD为矩形，所以AD=EG，
从而四边形ADGE为平行四边形
故AE∥DG
因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，
所以AE∥平面DCF
（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，BH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角

在．
∴∠GFE=60°，FG=1．又因为∴∠GEF=90°，
所以CF=4，从而BE=CG=3．于是．
在，则，
因为0°＜∠AHB＜180°，
所以∠AHB=60°，所以二面角A-EF-C的大小为60°．