Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA₁，D为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求二面角D-CA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer

方法一（1）先做出辅助线，连接AC1与A1C交于点K，连接DK，根据要证明线与面平行，需要在面上找一条和已知直线平行的直线，找到的直线是DK．
（2）根据二面角D-CA1-C1与二面角D-CA1-A互补，做出辅助线，边做边证作GH⊥CA1，垂足为H，连接DH，则DH⊥CA1，得到∠DHG为二面角D-CA1-A的平面角，解出结果．
方法二（1）以BC的中点O为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量．根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论．
（2）以BC的中点O为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，根据法向量与平面上的两个向量垂直且数量积等于0，得到一个法向量，另一个平面的法向量可以直接写出，根据两个平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余弦值．
（方法一）（1）证明：如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．
在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1．
又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，
∴BC1∥平面DCA1
（2）【解析】
二面角D-CA1-C1与二面角D-CA1-A互补．
如图二，作DG⊥AC，垂足为G，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，∴DG⊥平面ACC1A1．
作GH⊥CA1，垂足为H，连接DH，则DH⊥CA1，
∴∠DHG为二面角D-CA1-A的平面角
设AB=BC=CA=AA1=2，
在等边△ABC中，D为中点，∴，在正方形ACC1A1中，，
∴，，∴．
∴．
∴所求二面角的余弦值为．

图一 图二 图三
（方法二）（1）证明：如图三以BC的中点O为原点建系，设AB=BC=CA=AA1=2．
设是平面DCA1的一个法向量，
则．又，，
∴．令，∴
∵，∴．
又BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1．
（2）【解析】
设是平面CA1C1的一个法向量，
则．又，，
∴．令，∴．
∴．
∴所求二面角的余弦值为．