Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）若D是AC中点，求证：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求该五面体的体积．

Answer

（Ⅰ）连接B1C交BC1于O，连接DO，由三角形的中位线性质可得  DO∥AB1 ，从而证明AB1∥平面BDC1 ．
 （Ⅱ）过A作AH⊥BC，垂足为H，求出棱锥的高AH和矩形BCC1B1的面积，代入体积公式进行运算．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接B1C交BC1于O，连接DO，∵四边形BCC1B1是矩形，
∴O为B1C中点又D为AC中点，从而，DO∥AB1 ．
∵AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1 ．
（Ⅱ）过A作AH⊥BC，垂足为H，∵△ABC为正三角形，∴H为BC中点，，∵二面角A-BC-C1为直二面角，∴AH⊥面BCC1B1，又，故矩形BCC1B1的面积，
故所求五面体体积．