Question

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=-x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．

Answer

（1）求出h′（x），根据图象可知导函数过（0，-8），（4，0）两点，则把两点坐标代入h'（x）=2ax+b中求出a和b的值，把a和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化简后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切线的斜率；
（2）在定义域x大于0上，令f′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间单调递增区间为（0，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3），要使函数f（x）在区间上是单调函数，根据函数的单调区间可得大于1且小于等于3，列出不等式求出解集即可到得到m的取值范围；
（3）函数y=-x的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到-x大于等于f（x），列出不等式解出c≤-x2-6lnx+7x恒成立，求出g（x）=-x2-6lnx+7x的最小值方法是令导函数=0求出x的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最小值．根据c小于等于g（x）的最小值列出不等式，求出解集即可得到c的范围．
【解析】
（1）由已知，h'（x）=2ax+b，
其图象为直线，且过（0，-8），（4，0）两点，把两点坐标代入h'（x）=2ax+b
∴，h'（x）=2x-8，
∴f（x）=6lnx+x2-8x+c
∴
∴f'（3）=0，所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0；
（2）∵x＞0

∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的单调递减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间上是单调函数，
则，解得
（3）由题意，-x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得-x≥6lnx+x2-8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤-x2-6lnx+7x在x∈（0，6]恒成立，
设g（x）=-x2-6lnx+7x，x∈（0，6]，则c≤g（x）min

因为x＞0，∴当时，∴g'（x）＞0，g（x）为增函数
当和（2，+∞）时，∴g'（x）＜0，g（x）为减函数
∴g（x）的最小值为和g（6）的较小者．
，
g（6）=-36-6ln6+42=6-6ln6，
，
∴g（x）min=g（6）=6-6ln6．
又已知c＜3，
∴c≤6-6ln6