Question

过圆x²+y²=9内一点P（1，2）作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC=BD时，四边形ABCD的面积为    ．

Answer

根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AC，OF⊥BD，利用垂径定理得到E、F分别为AC、BD的中点，由AC=BD得到弦心距OE=OF，可得出四边形PEOF为正方形，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得到OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC与BD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ABCD的面积．
【解析】
根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AC，OF⊥BD，
∴E为AC的中点，F为BD的中点，
又AC⊥BD，AC=BD，
∴四边形EPOF为正方形，
由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=3，
又P（1，2），∴|OP|==，
∴OE=×=，又OA=r=3，
∴根据勾股定理得：AE==，
∴AC=BD=2AE=，
则S四边形ABCD=AC•BD=13．
故答案为：13