Question

在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k．
（1）若q_k=2（k∈N^*），求a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1；
（2）若对任意的k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设．
①求证：{b_k}成等差数列，并指出其公差；
②若d₁=2，试求数列{d_k}的前k项的和D_k．

Answer

（1）由题设知，由此能求出a1+a3+a5+…+a2k-1的值．
（2）①由a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为dk，知2a2k+1=a2k+a2k+2，再由，能够证明{bk}是等差数列，且公差为1．
②由d1=2，得a3=a2+2，解得a2=2，或a2=-1．由此进行分类讨论，能够求出Dk．
【解析】
（1）∵数列{an}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等比数列，公比qk=2（k∈N*），
∴，
∴a1+a3+a5+…+a2k-1==．
（2）①∵a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为dk，
∴2a2k+1=a2k+a2k+2，
而，a2k+2=a2k+1•qk+1，
∴，则，
得，
∴，即bk+1-bk=1，
∴{bk}是等差数列，且公差为1．
②∵d1=2，∴a3=a2+2，
则有，
解得a2=2，或a2=-1．
（i）当a2=2时，q1=2，∴b1=1，
则bk=1+（k-1）×1=k，
即，得，
∴=，
则
=
=（k+1）2，
∴，
则dk=a2k+1-a2k=k+1，
故．
（ii）当a2=-1时，qk=-1，
∴，则
=k-．
即，得，
∴a2k+1=
=××…××1=（k-）2．
则=（2k-1）（2k-3），
∴dk=a2k+1-a2k=4k-2，
从而Dk=2k2，
综上所述，Dk=，或．