Question

甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为p，乙，丙的命中率均为q（p，q∈（0，1））．现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量ξ．
（1）当时，求数学期望E（ξ）；
（2）当p+q=1时，试用p表示ξ的数学期望E（ξ）．

Answer

（1）当时，ξ～，故利用E（ξ）=np可求数学期望；
（2）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
【解析】
（1）当时，ξ～，故数学期望E（ξ）=np=3×=；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=（1-q）（1-p）2=pq2，P（ξ=1）=q（1-q）2=pq2+（1-q）p（1-p）=q2+2p2q，
P（ξ=2）=pq（1-p）+（1-q）p2=2pq2+p3，P（ξ=3）=qp2，
∴ξ的分布列为

  ξ  0  1  2  3
 P  pq2  q2+2p2q  2pq2+p3  qp2

∴Eξ=0×pq2+1×（q2+2p2q）+2×（2pq2+p3）+3×（qp2）=1+p．