Question

某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E_n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F_n种选法．
（1）试求E_n和F_n；
（2）判断lnE_n和F_n的大小（n∈N₊），并用数学归纳法证明．

Answer

（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得En；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得Fn；
（2）lnEn=2lnn!，Fn=n（n+1），猜想2lnn!＜n（n+1），再用数学归纳法证明，第2步的证明，利用分析法进行证明．
【解析】
（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得…4分
（2）因为lnEn=2lnn!，Fn=n（n+1），所以lnE1=0＜F1=2，lnE2=ln4＜F2=6，lnE3=ln36＜F3=12，…，由此猜想：当n∈N*
时，都有lnEn＜Fn，即2lnn!＜n（n+1）…6分
下用数学归纳法证明2lnn!＜n（n+1）（n∈N*）．
①当n=1时，该不等式显然成立．
②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），
则当n=k+1时，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），
要证当n=k+1时不等式成立，只要证：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），
只要证：ln（k+1）≤k+1…8分
令f（x）=lnx-x，x∈（1，+∞），因为，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而f（x）＜f（1）=-1＜0，而k+1∈（1，+∞），所以ln（k+1）≤k+1成立，
则当n=k+1时，不等式也成立．
综合①②，得原不等式对任意的n∈N*均成立…10分