Question

在数列．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer

（1）要证数列{bn}是等差数列，只要是这个数列的后一项与前一项做差，证明差是一个定值，利用数列{an}的递推式和两个数列的关系式，根据首项和公差写出通项，从而得到数列{an}的通项公式an．
（2）根据前面做出的数列的通项，写出一个新数列cn=n•2n+1•an，要求数列的和，观察数列的通项的结构特点，用错位相减来求和，这是经常考的一个求和方法．
【解析】
（1）证明：∵
=
∴数列{bn}是等差数列
∵
∴bn=2+（n-1）×2=2n
由
∴
（2）由（1）的结论得
∴Sn=2•21+3•22+4•23++（n+1）•2n①
2Sn=2•22+3•23+4•24++n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②，得-Sn=2•21+22+23+…+2n-（n+1）•2n+12
=2+2n+1-2-（n+1）•2n+1=-n•2n+1，
∴Sn=n•2n+1