Question

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；
（Ⅱ）设x为f（x）的一个极值点，证明[f（x）]²=；
（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂，…，a_n，…，
证明＜a_n+1-a_n＜π（n=1，2，…）．

Answer

（1）利用三角函数的和角公式，结合三角函数的诱导公式化简即可；
（2）题目中条件：“x为f（x）的一个极值点”可得，x是其导数的一个零点，由此得到一个方程，解之即得；
（3）由题意得：“x在第二或第四象限内”，结合正切函数的图象与性质讨论两极值点的差的范围．
【解析】
（Ⅰ）证明：由函数f（x）的定义，对任意整数k，有
f（x+2kπ）-f（x）=（x+2kπ）sin（x+2kπ）-xsinx=（x+2kπ）sinx-xsinx=2kπsinx．

（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，f'（x）=sinx+xcosx①
令f'（x）=0，得sinx+xcosx=0．
显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，
上述方程化简为x=-tanx．此方程一定有解．f（x）的极值点x一定满足tanx=-x．
由sin2x==，得sin2x=．
因此，[f（x）]2=x2sin2x=．

（Ⅲ）证明：设x＞0是f'（x）=0的任意正实数根，即x=-tanx，
则存在一个非负整数k，使x∈（+kπ，π+kπ），即x在第二或第四象限内．
由①式，f'（x）=cosx（tanx+x）在第二或第四象限中的符号可列表如下：

所以满足f'（x）=0的正根x都为f（x）的极值点．
由题设条件，a1，a2，，an，为方程x=-tanx的全部正实数根且满足a1＜a2＜＜an＜，
那么对于n=1，2，，an+1-an=-（tanan+1-tanan）=-（1+tanan+1•tanan）tan（an+1-an）． ②
由于+（n-1）π＜an＜π+（n-1）π，+nπ＜an+1＜π+nπ，
则＜an+1-an＜，
由于tanan+1•tanan＞0，由②式知tan（an+1-an）＜0．
由此可知an+1-an必在第二象限，
即an+1-an＜π．综上，＜an+1-an＜π．