Question

已知{b_n}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，且a₁=1，a_n=b_n•（）（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）证明：（1+）（1+）…（1+）＜e³（其中e为自然对数的底数）．

Answer

（1）利用S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差数列，求出公比与首项，即可得出通项公式；
（2）由题意，要证明：（1+）（1+）…（1+）＜e3，只需证ln2+ln（1+）+…+ln（1+）＜3．令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0），证明ln（1+x）＜x，进而只要证明ln2+ln（1+）+…+ln（1+）＜ln2++…+，利用错位相减法求和，即可得到结论．
（1）【解析】
∵S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差数列，
∴
∴2q2-5q+2=0
∴q=2或q=
∵q＞1
∴q=2，∴b1=2
∴bn=2n；
（2）证明：当n≥2时，an=bn•（）=2n-2
∴1+=1+．
要证明：（1+）（1+）…（1+）＜e3，
只需证ln2+ln（1+）+…+ln（1+）＜3．
令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0）
则f′（x）==＜0，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
∵f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＜0，即ln（1+x）＜x．
从而当n≥2时，ln（1+）＜＜
∴ln2+ln（1+）+…+ln（1+）＜ln2++…+
令Tn=++…+①
∴Tn=++…+②
①-②得Tn=1++…+-=
∴Tn=3-＜3
∴（1+）（1+）…（1+）＜e3．