Question

已知函数f（x）=x²+（ae-4）x+2lnx，g（x）=ax（2-lnx）（其中e为自然对数的底数，常数a≠0）．
（1）若对任意x＞0，g（x）≤1恒成立，求正实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取最大值时，试讨论函数f（x）在区间[，e]上的单调性；
（3）求证：对任意的n∈N^*，不等式lnn³-n²+成立．

Answer

（1）由题意，ax（2-lnx）≤1对任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤对任意x＞0恒成立，确定左边的最大值，即可求得正实数a的取值范围；
（2）求导函数，令导数的正负，即可得到函数的单调性；
（3）先证明x2-6x+8≥-4lnx+4ln2，从而k2-6k+8≥-4lnk+4ln2，对任意k∈N+成立，叠加，即可证得结论．
（1）【解析】
由题意，ax（2-lnx）≤1对任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤对任意x＞0恒成立
令h（x）=x（2-lnx），则h′（x）=1-lnx＞0 得0＜x＜e
故h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，-----------------------（2分）
∴h（x）max=h（e）=e，∴e≤，∴0＜a≤．
故所求正实数a的取值范围是（0，]．---------（1分）
（2）【解析】
由（1）知a=，此时f（x）=x2-3x+2lnx，f′（x）=得x＜1或x＞2，
故f（x）在区间（，1），（2，e）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减．----------（3分）
（3）证明：由（2）知f（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，
故当x≥1时，x2-3x+2lnx≥2ln2-4，即x2-6x+8≥-4lnx+4ln2．
从而k2-6k+8≥-4lnk+4ln2，对任意k∈N+成立．----------------------------（2分）
于是（k2-6k+8）≥（-4lnk+4ln2），
即＞-4lnn!+8n＞-4lnn!+4nln2
即．
即lnn3-n2+成立-------------（4分）