Question

已知椭圆的离心率为，点M（2，3），N（2，-3）为C上两点，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）．
（I）求四边形MANB面积的最大值；
（II）设直线AM，BM的斜率为k₁，k₂，试判断k₁+k₂是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer

（1）设根据离心率椭圆的方程，把M点代入即可求得c，则椭圆的方程可得．设直线l的方程，A（x1，y1），B（x2，x2），直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而代入四边形形面积表达式中，根据m确定四边形的面积最大值．
（2）设直线MA、MB的方程，进而与椭圆方程联立分别求出A，B的横坐标，进而求得两点的坐标的表达式，表示出直线AB的斜率，根据斜率为整理可得k1+k2=0．
【解析】
（I），设椭圆，代入M（2，3），得c=2，
所以椭圆C的方程为
设直线l的方程为（m∈R），A（x1，y1），B（x2，x2）
游，得x2+mx+m2-12=0
则x1+x2=-m，x1x2=m2-12
又
=
显然当m=0时，SMANB=．

（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k1（x-2）+3（5）y=k2（x-2）+3（k1，2∈R）
将（5）代入（4）得：（16k12+12）x2+（96k1-64k12）x+64k12-192k1-48=0
则∴
∴，同理：
化简得：k12=k22∵k1≠k2∴k1=-k2
即k1+k2=0为定值．