Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求三棱锥A-CDE的体积；
（3）在（2）的条件下，求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

Answer

（方法一）（1）证明AC⊥B1D，只需证明AC⊥平面BB1D；
（2）证明A1D⊥AE，求出，从而可求三棱锥A-CDE的体积；
（3）设A1D∩AE=F，AC∩BD=O，B1D∩OE=G，连接FG，证明∠DFG是二面角D-AE-C的平面角，由等面积关系求出DG，DF，从而可求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．
（方法二）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
（1）证明，可得，从而AC⊥B1D；
（2）设E（0，0，a），利用B1D⊥平面ACE，可得，从而可求体积；
（3）平面ADE的一个法向量为，面ACE的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．
（方法一）（1）证明：连接AC，则AC⊥BD…（1分），
因为BB1⊥面ABCD，所以，BB1⊥AC…（2分），
因为BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BB1D…（3分），
所以AC⊥B1D…（4分）．
（2）【解析】
连接A1D，与（1）同理可知A1D⊥AE…（6分），
从而，…（7分），
所以…（8分）
（3）【解析】
设A1D∩AE=F，AC∩BD=O，B1D∩OE=G，连接FG，
则AE⊥FG…（9分），所以∠DFG是二面角D-AE-C的平面角…（10分），
由等面积关系知…（11分），…（12分），
由（2）知，…（13分），
∴…（14分）．
（方法二）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…（1分）．
（1）证明：依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2）…（3分），
所以，…（4分），
所以，，所以AC⊥B1D…（5分）．
（2）【解析】
设E（0，0，a），则…（6分），
因为B1D⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以B1D⊥AE…（7分），
所以，所以-1+2a=0，…（8分），所以…（9分）
（3）【解析】
平面ADE的一个法向量为…（10分），
平面ACE的一个法向量为…（12分），
由图知，二面角D-AE-C的平面角的余弦值为…（14分）．