Question

设双曲线C₁的渐近线为，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C₂上的点到双曲线C₁的两个焦点的距离之和等于，并且曲线C₃：x²=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C₂上．
（1）求满足条件的曲线C₂和曲线C₃的方程；
（2）过点F的直线l交曲线C₃于点A、B（A在y轴左侧），若，求直线l的倾斜角．

Answer

（1）双曲线C1的渐近线为，焦点在x轴上且实轴长为1，可得曲线C1的焦点坐标，设曲线C2方程，利用曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于，可求方程；曲线C3：x2=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C2上，可求曲线C3的方程；
（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，求出两根，利用向量，即可求得直线的斜率，从而可得直线的倾斜角．
【解析】
（1）双曲线C1满足：…（1分），解得…（2分）
则，于是曲线C1的焦点F1（-1，0）、F2（1，0）…（3分），
曲线C2是以F1、F2为焦点的椭圆，设其方程为…（4分），
解得，即C2：…（5分），
依题意，曲线的焦点为F（0，1）…（6分），
于是，所以p=2，曲线…（7分）
（2）由条件可设直线l的方程为y=kx+1（k＞0）…（8分），
由得x2-4kx-4=0，△=16（k2+1）＞0，
由求根公式得：，…（9分），
由得-3x1=x2…（10分），于是，解得…（11分），
由图知k＞0，∴，
∴直线l的倾斜角为…（12分）