Question

已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（g））处的切线斜率为3（为自然对数的底数）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞l恒成立，求k的最大值；
（3）当m＞n＞l（m，n∈Z）时，证明：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m．
（注：本题第（2）（3）两问只需要解答一问，两问都答只计第（2）问得分）

Answer

（1）利用f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而可求b的值，利用图象在点（e，f（e））处的切线斜率为3，可求a的值；
（2）当x＞l时，设，求导函数，确定g（x）的最小值，即可求得k的最大值；
（3）要证：（nmm）n＞（mnn）m，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn，即，构造函数φ（x）=，x＞1，证明φ（x）在（1，+∞）上为增函数即可．
（1）【解析】
f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），即a（-x）+（-x）ln|-x+b|=-（ax+xln|x+b|）…（2分），
所以ln|-x+b|=ln|x+b|，从而b=0…（3分），
此时f（x）=ax+xln|x|，f'（x）=a+l+ln|x|…（4分），
依题意f'（e）=a+2=3，所以a=1…（5分）
（2）【解析】
当x＞l时，设，则…（6分）
设h（x）=x-2-lnx，则，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数…（8分）
因为h（3）=l-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以∃x∈（3，4），使h（x）=0…（10分），
x∈（1，x）时，h（x）＜O，g'（x）＜0，即g（x）在（1，x）上为减函数；
同理g（x）在（x，+∞）上为增函数…（12分），
从而g（x）的最小值为…（13分）
所以k＜x∈（3，4），k的最大值为3…（14分）．
（3）证明：要证：（nmm）n＞（mnn）m，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn…（6分），
即n（1-m）lnn＞m（l-n）lnm，…（8分），
设φ（x）=，x＞1…（9分），则φ′（x）=…（10分）
设g（x）=x-l-lnx，则…（11分），g（x）在（1，+∞）上为增函数…（12分），
∴x＞1时，g（x）＞g（l）=l-l-lnl=0，从而φ′（x）＞O，φ（x）在（1，+∞）上为增函数…（13分），
因为m＞n＞l，所以φ（n）＜φ（m），，所以（nmm）n＞（mnn）m…（14分）