Question

四棱锥的正视图和俯视图如图，其中俯视图是直角梯形．
（I ）若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；
（II）若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer

（I ）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明，可得BF丄CM．
（II）求出平面ADE的法向量、平面ABC的法向量，利用平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，可得求出平面ABE的法向量，计算，即可得到直线AD与平面ABE所成角的正弦值．
【解析】
（I ）若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，总有BF丄CM．
取BC中点O，连接AO，由俯视图可知，AO⊥面BCDE，取DE中点H，连接OH，OH⊥BC
以OC、OH、OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，设A（0，0，），B（-1，0，0），C（1，0，0）
∴F（）
设M（x，2x，（1-x）），
∴，
∴，
∴BF丄CM．
（II）D（1，2，0），设A（0，0，a）（a＞0），∴
设平面ADE的法向量为，∴
∴，∴可取
∵平面ABC的法向量为
∴
∵平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，
∴，解得
设平面ABE的法向量为，
∵
∴
∴，
∴可取
∴
∴直线AD与平面ABE所成角的正弦值为．