Question

已知正项数列{a_n}的前项和为S_n，且满足S_n+a_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，则是否存在数列{b_n}，满足对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当n=1时，由条件Sn+an=1求出首项，当n≥2时，Sn+an=1，Sn-1+an-1=1，两式相减得到2an=an-1，可得数列是
公比为的等比数列．
（2）因为，所以，若存在满足题意的数列{bn}，则，两式相减，得到bn=2n+1（n≥2）．
经检验，首项也满足，从而求得通项公式．
【解析】
（1）当n=1时，S1+a1=1，故．---------（2分）
当n≥2时，Sn+an=1，Sn-1+an-1=1，两式相减得到2an=an-1，所以数列{an}为首项为，公比为的等比数列，
所以．------（7分）
（2）因为，所以，若存在满足题意的数列{bn}，
则，
两式相减，得到bn=2n+1（n≥2）．------（12分）
由b1•c1=6，得到b1=3，满足上式．所以，存在满足题意的数列{bn}，
通项公式为．-------（14分）