Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，点D是AA₁的中点．
（1）证明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（2）求CD与平面BC₁D所成角的正切值．

Answer

（1）先证明面ABC⊥面ACC1A1，由于AC⊥BC，可得BC⊥面ACC1A1，所以BC⊥C1D，再证明CD⊥C1D，可得C1D⊂面BC1D，从而可得面BCD⊥面BC1D；
（2）过点C作CH⊥BD交BD于H，可证∠CDH的大小就是CD与平面BC1D所成角的大小，在△CDC1中，可求CD与平面BC1D所成角的正切值．
（1）证明：∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴面ABC⊥面ACC1A1
由于AC⊥BC，AC=面ABC∩面ACC1A1，∴BC⊥面ACC1A1，∴BC⊥C1D
又∵在矩形ACC1A1中，AA1=2AC，点D是AA1的中点，∴CD⊥C1D．
∵CD∩BC=C，
∴C1D⊥面BCD
∵C1D⊂面BC1D，
∴面BCD⊥面BC1D--------（7分）
（2）【解析】
过点C作CH⊥BD交BD于H，

∵平面BC1D⊥平面BCD，面BC1D∩面BCD=BD，∴CH⊥面BC1D．
∴∠CDH就是CD与平面BC1D所成角．--（11分）
在△CDC1中，BC=1，CD=，
∴．-------------（14分）