Question

等差数列{a_n}的各项为正，其前n项和为S_n，且S₃=9，又a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当n≥2时，++…+＜．

Answer

（Ⅰ）由S3=9，得a2=3，由a1+2、a2+3、a3+7成等比数列，解得d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由=＜=，利用裂项求和法能够证明当n≥2时，++…+＜．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵S3=9，∴a2=3，
∴a1+2=3-d+2=5-d，
a2+3=6，a3+7=3+d+7=10+d，
∵a1+2、a2+3、a3+7成等比数列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
an=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵=
＜==，
∴当n≥2时，++…+
＜1+
=1+＜1+=．