Question

如图，椭圆C₁：（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的短轴长．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁相交于点D、E．
（ⅰ）证明：MD⊥ME．
（ⅱ）记△MAB、△MDE的面积分别为S₁、S₂，若，求λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长，建立方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线l的方程为y=kx与y=x2-1联立得x2-kx-1=0，利用韦达定理表示出kMA×kMB，即可证得结论；
（ⅱ）设直线MA、MB的方程与y=x2-1联立，求得A，B的坐标，进而可表示S1，直线MA、MB的方程与椭圆方程联立，求得D，E的坐标，进而可表示S2，从而可得，利用基本不等式，即可确定λ的取值范围．
（Ⅰ）【解析】
由题意，，∴a2=2b2
令x2-b=0可得x=，∴，∴b=1，∴a2=2
∴C1、C2的方程分别为，y=x2-1；
（Ⅱ）证明：设直线l的斜率为k，方程为y=kx与y=x2-1联立得x2-kx-1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根
∴x1+x2=k，x1x2=-1
∵M（0，-1），∴kMA×kMB=×===-1
∴MA⊥MB，即MD⊥ME；
（ⅱ）【解析】
设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x-1与y=x2-1联立得x2-k1x=0
∴x=0或x=k1，∴A（）
同理可得B（）
∴S1===
y=k1x-1与椭圆方程联立，可得（）x-4k1x=0
∵x=0或x=，∴D（）
同理可得E（，）
∴=
∴==≥=
当且仅当k1=1时取等号
∴λ的取值范围是[，+∞）．