Question

已知函数f（x）=，g（x）=cln（-x）+b，且x=-是函数y=f（x）极值点．
（Ⅰ）求实数a值；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l是函数y=f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线，且直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x，y），x∈[-e，-]，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当x＜0时，求导函数，利用x=-是函数y=f（x）极值点，建立方程，即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＜0时，求导函数，进而可得当x＜0时，f（x）∈（，+∞），要使方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，由此可求实数m的取值范围；
（Ⅲ）先确定函数y=f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程，再利用直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x，y），x∈[-e，-]，可得切线l的方程，由此可得=-2e2[x-xln（-x）+2]，构造新函数h（x）=x-xln（-x）+2，x∈[-e，-]，确定函数的单调性，求出函数的值域，即可求实数b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当x＜0时，f（x）=（x2+2ax）e-x，∴f′（x）=[-x2+（2-2a）x+2a]e-x
∵x=-是函数y=f（x）极值点，∴，∴，∴a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＜0时，f（x）=（x2+2x）e-x，f′（x）=（-x2+2）e-x
①当x＜-时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）∈（，+∞）；
②当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）∈（，0）
综上，当x＜0时，f（x）∈（，+∞）；
要使方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点
∴当b＜0时，m=0或m=；当b=0时，m∈（，0）；当b＞0时，m∈（，+∞）；
（Ⅲ）当x＜0时，f（x）=（x2+2x）e-x，f′（x）=（-x2+2）e-x
∵f（-2）=0，f′（-2）=-2e2
∴函数y=f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为y=-2e2（x+2），即y=-2e2x-4e2
∵直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x，y），x∈[-e，-]，
∴y=cln（-x）+b，又，∴切线l的斜率为
∴切线l的方程为，即
∴
∴=-2e2[x-xln（-x）+2]
令h（x）=x-xln（-x）+2，x∈[-e，-]，则h′（x）=-ln（-x）
令h′（x）=0，则x=-1
∴当-e≤x＜-1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当-1＜x≤-时，h′（x）＞0，h（x）单调递增
∵h（-1）=1，h（-e）=2，h（-）=2
∴1≤h（x）≤2
∴-4e2≤b≤-2e2
∴实数b的取值范围是[-4e2，-2e2]．