Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC．

Answer

（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理易得，四边形ABMN为平行四边形，即BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；
（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．
证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点
∴MN∥CD，且MN=CD，
由已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，
∴MN∥AB，且MN=AB
∴四边形ABMN为平行四边形
∴BM∥AN
又∵AN⊂平面ADEF
BM⊄平面ADEF
∴BM∥平面ADEF
（II）∵ADEF为正方形
∴ED⊥AD
又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED⊂平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2
在△BCD中，BD=BC=2，CD=4
∴BC⊥BD
∴BC⊥平面BDE
又∵BC⊂平面BEC
∴平面BDE⊥平面BEC