Question

如图，△ABC是边长为的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是    ．

Answer

根据△ABC是边长为的等边三角形，算出•=6，分别将和分解为以、和为基向量的式子，将数量积•展开，化简整理得•=7+（+），最后研究+的大小与方向，可得（+）的最大、最小值，最终得到•的取值范围．
【解析】
∵==，∠ACB=60°
∴•=•cos60°=6
∵=+，=+
∴•=（+）（+）=•+（+）+2
∵=1
∴•=6+（+）+1=7+（+）
∵△ABC是边长为的等边三角形，
∴向量+是与AB垂直且方向向上，长度为6的一个向量
由此可得，点P在圆C上运动，当与+共线同向时，（+）取最大值，且这个最大值为6
当与+共线反向时，（+）取最小值，且这个最小值为-6
故•的最大值为7+6=13，最小值为7-6=1．即•的取值范围是[1，13]
故答案为：[1，13]