Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为为，求a+c的值．

Answer

（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，得到cosB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由B的度数求出sinB和cosB的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinB及已知的面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB，再利用完全平方公式整理后，将b，ac及cosB的值代入，开方即可求出a+c的值．
【解析】
（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，
∴cosB=，又0＜B＜π，
则B=；
（2）∵△ABC的面积为，sinB=sin=，
∴S=acsinB=ac=，
∴ac=6，又b=，cosB=cos=，
∴利用余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18=3，
∴（a+c）2=21，
则a+c=．