Question

如图所示，多面体EF-ABCD中，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥DC，∠ABC=60°，FC⊥平面ABCD，正△ADE⊥平面ABCD，，H为AD中点．
（1）求证：BC⊥平面EFCH；
（2）求二面角H-BF-C的平面角的余弦值．

Answer

（1）证明BC⊥平面EFCH，利用线面垂直的判定，只需证明BC⊥CH，BC⊥FC即可；
（2）过C作CG⊥FB，垂足为G，连接HG，证明∠HGC为二面角H-BF-C的平面角，计算CG，HG，即可求得二面角H-BF-C的平面角的余弦值．
（1）证明：在△DHC中，∠HDC=90°，DC=3，DH=，∴CH=2，∴∠DCH=30°
∵AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCH=90°，∴BC⊥CH
∵H为AD中点，△ADE为正三角形
∴EH⊥AD
∵正△ADE⊥平面ABCD，△ADE∩平面ABCD=AD
∴EH⊥平面ABCD
∵FC⊥平面ABCD
∴EH∥FC
∴EFCH是平面四边形
∵FC⊥平面ABCD，CB⊂平面ABCD
∴BC⊥FC
∵FC∩CH=C
∴BC⊥平面EFCH；
（2）过C作CG⊥FB，垂足为G，连接HG，
∵FC⊥平面ABCD，HC⊂平面ABCD
∴HC⊥FC
∵HC⊥BC，FC∩BC=C
∴HC⊥平面BCF
∵CG⊥FB，∴HG⊥FB
∴∠HGC为二面角H-BF-C的平面角
在直角△BCF中，CF=6，BC=4，则BF=2，∴CG==
在△HCF中，HC=2，CG=，∴HG=
∴cos∠HGC==
∴二面角H-BF-C的平面角的余弦值为