Question

如图，A为椭圆（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．当AC垂直于x轴时，恰好|AF₁|：|AF₂|=3：1．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设，，试判断λ₁+λ₂是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）由|AF1|：|AF2|=3：1，及椭圆定义|AF1|+|AF2|=2a，可求AF1，AF2，在在Rt△AF1F2中，利用勾股定理可求
（2）由（1）可得b=c．椭圆方程为，设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），
①若直线AC⊥x轴容易求解②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程，结合韦达定理可求，从而可求，同理可得，代入可求
【解析】
（1）当AC垂直于x轴时，|AF1|：|AF2|=3：1，由|AF1|+|AF2|=2a，
得，在Rt△AF1F2中，|AF1|2=|AF2|2+（2c）2
解得 e=．…（5分）
（2）由e=，则，b=c．
焦点坐标为F1（-b，0），F2（b，0），则椭圆方程为，
化简有x2+2y2=2b2．
设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），
①若直线AC⊥x轴，x=b，λ2=1，
∴λ1+λ2=6．   …（8分）
②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为
代入椭圆方程有（3b2-2bx）y2+2by（x-b）y-b2y2=0．
由韦达定理得：，∴…（10分）
所以，
同理可得…（12分）
故λ1+λ2=．综上所述：λ1+λ2是定值6．…（14分）