Question

已知函数f（x）=ae^2x+（a+1）x+1
（1）当a=-时，讨论f（x）的单调性；
（2）设a＜-1，若对∀x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，求a的取值范围．

Answer

（1）当时，求导函数，由导数正负可确定函数的单调性；
（2）对∀x1，x2∈R，有|f（x1）-f（x2）|≥4|ex1-ex2|，两边同除以|x1-x2|，等价于|f′（x）|≥4ex，由此可求a的取值范围．
【解析】
（1）当时，求导函数可得f′（x）=-e2x+
令f′（x）＞0可得x＜-ln2，令f′（x）＜0可得x＞-ln2
∴函数的单调增区间为（-∞，-ln2），单调减区间为（-ln2，+∞）；
（2）∵对∀x1，x2∈R，有|f（x1）-f（x2）|≥4|ex1-ex2|，
∴两边同除以|x1-x2|，可得|f′（x）|≥4ex，
∴|2ae2x+（a+1）|≥4ex，
∵a＜-1
∴2ae2x+4ex+（a+1）≤0
令ex=t（t＞0），则2at2+4t+（a+1）≤0
∵a＜-1，∴，a+1＜0
∴△=16-8a（a+1）≤0
∴（a+2）（a-1）≥0
∴a≥1或a≤-2．
∵a＜-1，
∴a≤-2