Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若f（x）=sinx+cosx，求f（A）的最大值．

Answer

（I）法一：由已知结合正弦定理对已知化简可求B，进而可判断三角形的形状
法二：由已知结合余弦定理对已知化简可求B，进而可判断三角形的形状
（II）由辅助角公式对已知函数f（x）先化简，然后代入可求f（A），结合（I）中的角B可求A的 范围，然后结合正弦函数的性质即可求解
【解析】
（Ⅰ）（法1）因为 asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得 sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．         …（3分）
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
所以 sin（C+B）=sinAsinB．                                …（4分）
因为在△ABC中，A+B+C=π，
所以 sinA=sinAsinB又sinA≠0，…（5分）
所以 sinB=1，．
所以△ABC为的直角三角形．                           …（6分）
（法2）因为 asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得 ，…（4分）
所以 asinB=a．
因为a≠0，所以sinB=1．                                  …（5分）
所以在△ABC中，．
所以△ABC为的直角三角形．                           …（6分）
（Ⅱ）因为 ，…（8分）
所以 ．                                 …（9分）
因为△ABC是的直角三角形，
所以 ，…（10分）
所以 ，…（11分）
所以 ．                                  …（12分）
即f（A）的最大值为．                                    …（13分）