Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）若V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，试求的值．

Answer

（Ⅰ）证明AD⊥PE，AD⊥BE，利用线面垂直的判定，即可证明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连接OQ，利用三角形中位线的性质，证明OQ∥PA，即可证明PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）利用VP-BCDE=2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=SABCD，即可求得结论．
（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，PA=PD，
所以AD⊥PE．              …（1分）
因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．   …（2分）
因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．  …（4分）
（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连接OQ．…（5分）
因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．
所以OQ∥PA．                                            …（7分）
因为PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ．                      …（8分）
所以PA∥平面BDQ．                                      …（9分）
（Ⅲ）【解析】
设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，
所以VP-BCDE=SBCDEh1，VQ-ABCD=SABCDh2．                …（10分）
因为VP-BCDE=2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=SABCD．            …（12分）
所以，…（13分）
因为，所以．                        …（14分）