Question

已知椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且．求△ABM的面积．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0），可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用 ，及韦达定理，即可求解△ABM的面积．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0）．
∴a=2，，∴．                        …（2分）
∵a2=b2+c2，∴．                            …（3分）
椭圆方程为．                                      …（5分）
（Ⅱ）因为直线l的斜率为1，可设l：y=x+m，…（6分）
则，消y得3x2+4mx+2m2-4=0，…（7分）
由△＞0，得m2＜6．
因为A（x1，y1），B（x2，y2），所以，．                        …（8分）
设直线MA：，则；同理．…（9分）
因为 ，所以 ，即．     …（10分）
所以 （x1-4）y2+（x2-4）y1=0，
所以 （x1-4）（x2+m）+（x2-4）（x1+m）=0，
所以2x1x2+m（x1+x2）-4（x1+x2）-8m=0，
所以，
所以 ，所以 ．              …（12分）
所以 ，．
设△ABM的面积为S，直线l与x轴交点记为N，
所以．…（13分）
所以△ABM的面积为．…（14分）