Question

已知AB是表面积为4π的球的直径，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB=1，则三棱锥A-BCD的体积为    ．

Answer

设AB中点即球心为O．连接OC、OD，取OD中点F，连接BF、CF．由正余弦定理，算出S△BCF=，得VC-BOD=S△BCF×OD=，从而得到三棱锥A-BCD的体积VA-BCD=2VC-BOD=．
【解析】
∵球的表面积为4π
∴4πR2=4π，得球的半径R=1
设AB中点即球心为O．连接OC、OD，取OD中点F，连接BF、CF
∵OB=OD=BD=1，F为OD中点
∴△BDF是正三角形，BF⊥OD，且BF=
同理可得CF⊥OD，CF=
∵BF、CF是平面BCF内的相交直线
∴OD⊥平面BCF
△BCF中，cos∠BFC==-，所以sin∠BFC==
∴S△BCF=BF•CFsin∠BFC=×××（）=
由此可得VC-BOD=VD-BCF+VO-BCF=S△BCF×OD=
∵△ABD中，OD是AB边上的中线
∴S△ABD=2S△0BD，得VC-ABD=2VC-BOD
∵VC-BOD=，
∴三棱锥A-BCD的体积VA-BCD=VC-ABD=2VC-BOD=2×=
故答案为：