Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer

（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量，平面PBD的法向量为，利用向量的数量积公式，可求二面角A-PB-D的余弦值．
（Ⅰ）证明：在△ABD中，
由于AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD⊂平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2），B（0，8，0）
∴，
设平面PAB的法向量为
由可得，取
同理可得平面PBD的法向量为
∴cos==
∴二面角A-PB-D的余弦值为．