Question

已知函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时，存在极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若x＞1时，mlnx＞成立，求正实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时存在极值，可求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞1时，mlnx＞成立，则（mx-m+1）lnx-x+1＞0，构造函数g（x）=（mx-m+1）lnx-x+1，求出导函数g′（x）=mlnx+m+-1，令h（x）=mlnx+m+-1，求出导函数h′（x）=，换元t=，分类讨论，即可确定结论．
【解析】
（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=1-，
∵函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时存在极值
∴f′（1）=0，∴a=0；
（Ⅱ）当x＞1时，mlnx＞成立，则（mx-m+1）lnx-x+1＞0
令g（x）=（mx-m+1）lnx-x+1，则g′（x）=mlnx+m+-1
令h（x）=mlnx+m+-1，则h′（x）=
令t=，则h′（x）=（m-1）t2+mt，0＜t＜1
令φ（t）=（m-1）t2+mt，0＜t＜1，则
①当m≥1时，φ（t）＞0即h′（x）＞0，∴g′（x）＞g′（1）=0
∴g（x）＞g（1）=0
∴mlnx＞成立
②当时，，φ（t）＞0，同①知mlnx＞成立；
③当时，，有t∈，使φ（t）＜0，即x∈时，h′（x）＜0
∴g′（x）＜g′（1）=0
∴g（x）＜g（1）=0与（mx-m+1）lnx-x+1＞0矛盾
∴当时，不能使mlnx＞成立；
∴正实数m的取值范围是{}．