Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-m|+m．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}，求实数m的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求使f（x）≤a-f（-x）有解的实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）不等式f（x）≤6等价于|2x-m|+m≤6，即|2x-m|≤6-m，利用不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}，即可求实数m的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），确定其最小值，即可求得使f（x）≤a-f（-x）有解的实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）不等式f（x）≤6等价于|2x-m|+m≤6，即|2x-m|≤6-m．
∴m-6≤2x-m≤6-m
∴m-3≤x≤3
∵不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}，
∴m-3=-1，
∴m=2；
（Ⅱ）与（Ⅰ）知，f（x）=|2x-2|+2，令g（x）=f（x）+f（-x）
则g（x）=|2x-2|+|2x+2|+4=
∵x≤-1时，4-4x≥8；x＞1时，4+4x＞8
∴g（x）的最小值为8
∴使f（x）≤a-f（-x）有解的实数a的取值范围[8，+∞）．