利用函数的单调性与导数的关系,结合导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函数的增区间(或减区间),得到a≤x2,在[1,2]上恒成立,从而有a≤1.再利用f′(x)在[1,2]上存在零点,得出a≥1,两者结合即可求出a的值.
【解析】
∵函数f(x)=-alnx(a∈R),
∴f′(x)=x-,
∵函数f(x)在[1,2]为增函数,
∴x-≥0在[1,2]上恒成立,
即a≤x2,在[1,2]上恒成立,∴a≤1.
∵且f′(x)在[1,2]上存在零点,
∴存在x∈[1,2],使得x-=0成立,
即存在x∈[1,2],使得a=x2
∴a≥1,
∴a=1.
故答案为:1.