Question

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）设a=令g（x）=-3，x∈（0，+∞），求证：gⁿ（x）-xⁿ-≥2ⁿ-2（n∈N₊）．

Answer

（1）函数在x=1处的切线与直线平行得f′（1）=1解出a与b的关系式，由函数有极值得方程f′（x）=0有两个不等实根，所以利用根的判别式大于零解出a的范围即可；
（2）存在．令f′（x）=0得到函数的两个稳定点，然后分区间讨论函数的增减性，得到函数的极小值令其等于1，讨论得到a的值存在，求出a即可；
（3）把a=代入到g（x）=-3中化简得到g（x）的解析式，然后用数学归纳法证明其结论成立即可．
【解析】
∵f′（x）=x2+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，
又因为函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①
∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x2+2ax-b=0有两个不等实根∴△=4a2+4b＞0∴a2+b＞0②
由①．②可得，a2+2a＞0∴a＜-2或a＞0
故实数a的取值范围是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）存在a=-
∵f′（x）=x2+2ax-b，令f′（x）=0∴x1=-a-，x2=-a+

∴f（x）极小=f（x2）=+ax22-2ax2+1=1
∴x2=0或x22+3ax2-6a=0
若x2=0，即-a+=0，则a=0（舍）
若x22+3ax2-6a=0，又f′（x2）=0，∴x22+2ax2-2a=0，
∴ax2-4a=0
∵a≠0∴x2=4
∴-a+=4
∴a═＜-2
∴存在实数a=-，使得函数f（x）的极小值为1．
（3）∵a=，f′（x）=x2+x-1，∴f′（x+1）=x2+3x+1，∴-3==x+∴g（x）=x+，x∈（0，+∞）．
证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立，
假设当n=k时结论成立，即-xk-≥2k-2
当n=k+1时，左边=-xk+1-≥（x+）（2k-2+xk+）-（xk+1+）=（x+）（2k-2）+xk-1+≥2k+1-4+2=2k+1-2
当且仅当x=1时等号成立，即当n=k+1时原式也成立
综上当n∈N+时，gn（x）-xn-≥2n-2成立．