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已知a为实数,数列{an}满足a1=a,当n≥2时,, (Ⅰ)当a=100,时,...

已知a为实数,数列{an}满足a1=a,当n≥2时,manfen5.com 满分网
(Ⅰ)当a=100,时,求数列{an}的前100项的和S100
(Ⅱ)证明:对于数列{an},一定存在k∈N*,使0<ak≤3;
(Ⅲ)令manfen5.com 满分网,当2<a<3时,求证:manfen5.com 满分网
(Ⅰ)当a=100时,由题意知数列{an}的前34项成首项为100,公差为-3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,由此能求出S100. (Ⅱ)当0<a1≤3时,题意成立.当a1>3时,an=a1-3(n-1).设a1∈(3k,3k+3],(k≥1,k∈N*),则当n=k+1时,ak+1=a1-3k∈(0,3].命题成立.当a1≤0时,a2=4-a1>3,命题成立.由此能够证明原命题成立. (Ⅲ)当2<a<3时,由,知=.因为bn>0,所以只要证明当n≥3时不等式成立即可.由此能够证明<. 【解析】 (Ⅰ)a=100时, ∵a1=100,当n≥2时,, ∵a1=100,a2=97,…,a33=4,a34=1,a35=3,a36=1,a37=3,…,a100=1, ∴a=100时, 数列{an}的前34项成首项为100,公差为-3的等差数列, 从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1, 从而S100=…(3分) =.…(5分) (Ⅱ)证明:①若0<a1≤3,则题意成立…(6分) ②若a1>3,此时数列{an}的前若干项满足an-an-1=3, 即an=a1-3(n-1). 设a1∈(3k,3k+3],(k≥1,k∈N*), 则当n=k+1时,ak+1=a1-3k∈(0,3]. 从而此时命题成立…(8分) ③若a1≤0,由题意得a2=4-a1>3, 则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立…(10分) (Ⅲ)当2<a<3时, 因为, 所以=.…(11分) 因为bn>0, 所以只要证明当n≥3时不等式成立即可. 而…(13分) ①当n=2k(k∈N*,且k≥2)时, = = =.…(15分) ②当n=2k-1(k∈N*且k≥2)时, 由于bn>0,所以<. 综上所述,原不等式成立…(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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