Question

若函数f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）为f（x）的导函数），则称这类函数为A类函数．
（1）若函数g（x）=x²-1，试判断g（x）是否为A类函数；
（2）若函数是A类函数，求函数h（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）是A类函数，当x₁＞0，x₂＞0时，证明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

Answer

（1）因为g'（x）=2x，所以xg'（x）-g（x）=2x2-（x2-1）=x2+1＞0在（0，+∞）上恒成立，由此能够导出g（x）=x2-1是A型函数．
（2），由xh'（x）＞h（x），得，因为x＞0，所以可化为2（a-1）＜2x+xlnx，由此进行分类讨论，能求出函数h（x）的单调区间．
（3）函数f（x）是（0，+∞）上的每一点处都有导数，且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，设，在（0，+∞）时恒成立，所以函数在（0，+∞）上是增函数，由此能够证明f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．
（1）【解析】
因为g'（x）=2x，
所以xg'（x）-g（x）=2x2-（x2-1）=x2+1＞0在（0，+∞）上恒成立，
即xg'（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）=x2-1是A型函数．…（2分）
（2），
由xh'（x）＞h（x），
得，
因为x＞0，所以可化为2（a-1）＜2x+xlnx，
令p（x）=2x+xlnx，p'（x）=3+lnx，
令p'（x）=0，得x=e-3，
当x∈（0，e-3）时，p'（x）＜0，p（x）是减函数；
当x∈（e-3，+∞）时，p'（x）＞0，p（x）是增函数，
所以，
所以2（a-1）＜-e-3，．…（4分）
①当a=0时，由，得x＜1，
所以增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
②当a＜0时，由，得0＜x＜1，
所以增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
③当时，得x＜1，或，
所以增区间为（0，1），，减区间为；
④当时，h'（x）≥0，
所以，函数增区间为（0，+∞）；
⑤时，由，得，或x＞1，
所以增区间为（1，+∞），a1•a2•…•ak-1＞1×2×…×（k-1）≥2k-2＞k，
减区间为．   …（10分）
（3）证明：函数f（x）是（0，+∞）上的每一点处都有导数，
且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，
设，在（0，+∞）时恒成立，
所以函数在（0，+∞）上是增函数，…（12分）
因为x1＞0，x2＞0，
所以x1+x2＞x1＞0，x1+x2＞x2＞0，
所以F（x1+x2）＞F（x1），F（x1+x2）＞F（x2），
即，（14分）
所以，
两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．（16分）