Question

设C₁是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0），C₂是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．
（1）求双曲线C₂的标准方程；
（2）若C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求的最大值； 
（3）若△FAB的面积S满足，求p的值．

Answer

（1）设双曲线C2的标准方程，利用C2是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线，及a2+b2=c2，即可求得双曲线C2的标准方程；
（2）将抛物线y2=2px代入，整理可得2x2-3px+6=0，根据C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B，即可确定p的取值范围，从而求出的最大值； 
（3）直线AB的方程为（x-x1），求出F到直线AB的距离，从而可求面积S，根据，建立方程，即可求得结论．
【解析】
（1）设双曲线C2的标准方程为
∵C2是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．
∴，
∵a2+b2=c2，
∴
∴双曲线C2的标准方程为；
（2）将抛物线y2=2px代入，整理可得2x2-3px+6=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0），则
∴
∵+y1y2==
∴当且仅当p=2时，的最大值为9；
（3）直线AB的方程为（x-x1），即x-y-×x1+y1=0
∴F到直线AB的距离为d=
∴=
∵，
∴（）=
∴p=．