Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．
（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；
（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A-PDE的侧面积．

Answer

（Ⅰ）在Rt△DAE中，求出BE=3．在Rt△EBC中，求出∠CEB=．证明CE⊥DE．PD⊥CE．即可证明CE⊥平面PDE．
（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD=，∠ADE=，
∴AE=AD•tan∠ADE=•=1．
又AB=CD=4，∴BE=3．
在Rt△EBC中，BC=AD=，∴tan∠CEB==，∴∠CEB=．
又∠AED=，∴∠DEC=，即CE⊥DE．
∵PD⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，
∴PD⊥CE．
∴CE⊥平面PDE．…（6分）
（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PDE，
∴平面PDE⊥平面ABCD．
如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，
∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF=．
在Rt△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得
AE=•，解得AE=2．
∴S△APD=PD•AD=××=，
S△ADE=AD•AE=××2=，
∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，
∵PA⊂平面PAD，∴BA⊥PA．
在Rt△PAE中，AE=2，PA===，
∴S△APE=PA•AE=××2=．
∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++．…（12分）