Question

已知函数y=f（x）是R上偶函数，且对于∀x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0.3]，且时，都有＞0．对于下列叙述；
①f（3）=0；     
②直线x=-6是函数y=f（x）的一条对称轴；
③函数y=f（x）在区间[-9，-6]上为增函数；    
④函数y=f（x）在区间[-9，9]上有四个零点．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．①②
C．①②④
D．②③④

Answer

分析4个命题，对于①，在用特殊值法，将x=-3代入f（x+6）=f（x）+f（3）中，变形可得f（-3）=0，结合函数的奇偶性可得f（3）=f（-3）=0，可得①正确；对于②，结合①的结论可得f（x+6）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，结合函数的奇偶性可得f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，可得直线x=-6也是函数y=f（x）的一条对称轴，可得②正确；对于③，由题意可得f（x）在[0，3]上为单调增函数，结合函数是偶函数，可得f（x）在[-3，0]上为减函数，又由f（x）是以6为周期的函数，分析函数y=f（x）在区间[-9，-6]的单调性可得③错误；对于④，由①可得，f（3）=f（-3）=0，又由f（x）是以6为周期的函数，则f（-9）=f（9）=0，即函数y=f（x）在区间[-9，9]上有四个零点，④正确；综合可得答案．
【解析】
根据题意，依次分析命题，
对于①，在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=-3可得，f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（3）=f（-3）=0，则①正确；
对于②，由①可得，f（3）=0，又由f（x+6）=f（x）+f（3），
则有f（x+6）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，
又由函数y=f（x）是R上偶函数，即f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，
则直线x=-6也是函数y=f（x）的一条对称轴，②正确；
对于③，由当x1，x2∈[0，3]，都有＞0，可得f（x）在[0，3]上为单调增函数，
又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（x）在[-3，0]上为减函数，
又由f（x）是以6为周期的函数，则函数y=f（x）在区间[-9，-6]上为减函数，③错误；
对于④，由①可得，f（3）=f（-3）=0，
又由f（x）是以6为周期的函数，则f（-9）=f（-3）=0，f（9）=f（3）=0，
即函数y=f（x）在区间[-9，9]上有四个零点，④正确；
正确的命题为①②④；
故选C．