Question

已知．
（I）设函数g（x）=•，将函数g（x）的图象向右平移单位，再将所得图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数f（x），求函数f（x）的单调减区间；
（II）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B为锐角，且，求a．

Answer

（I）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，然后由“左加右减”规律，得到将函数g（x）的图象向右平移单位的解析式，再将x化为2x，确定出f（x）解析式，由余弦函数的单调减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到f（x）的减区间；
（II）由第一问确定的f（x）解析式及f（B）=1，得到cos（2B+）=0，由B为锐角，得到2B+的范围，利用余弦函数的图象及特殊角的三角函数值求出B的度数，进而确定出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理即可求出a的值．
【解析】
（I）g（x）=•=cos（x+）+2cos2
=-cosx+sinx+cosx+1
=cosx+sinx+1
=cos（x+）+1，
由题意得：f（x）=cos（2x+-）+1=cos（2x+）+1，
令2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
则f（x）的单调减区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（II）由f（B）=cos（2B+）+1=1，得到cos（2B+）=0，
∵0＜B＜，∴＜2B+＜，
∴2B+=，即B=，又b=1，c=，
则由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cosB，即1=a2+3-3a，
整理得：（a-1）（a-2）=0，
解得：a=1或a=2．