Question

如图，正方形ABCD和直角梯形ABMN所在平面相互垂直，AN∥BM，∠ABM=90°，AN=AD=为MC中点．
（1）证明NP∥面ABCD；
（II）证明：MN⊥NC；
（III）求三棱锥M-BPN的体积．

Answer

（I）取BC中点Q，连接PQ，AQ，证明NP∥AQ．说明AQ⊂平面ABCD，且NP⊄平面ABCD，即可证明NP∥平面ABCD；
（II）先证明CB⊥MN，由勾股定理得出MN⊥NB，即可证明MN⊥平面BNC，从而有MN⊥NC；
（III）取MB的中点，连接PE，先证得PE即为三棱锥M-PBN的高，再求出底面的面积、高，即可求三棱锥的体积．
【解析】
（I）证明：取BC中点Q，P是MC的中点，连接PQ，AQ．
所以PQ∥BM，AN∥BM，且PQ=AN．
所以四边形ANPQ为平行四边形．
所以NP∥AQ．                              （4分）
又因为AQ⊂平面ABCD，且NP⊄平面ABCD，
所以NP∥平面ABCD．                          （4分）
（II）证明：在正方形BCD中，CB⊥AB．
又因为平面ABMN⊥平面ABCD，所以CB⊥平面ABMN．
所以CB⊥MN．                （6分）
在直角梯形ABMN中，AN=AB=1，可得NB=MN=AB，
所以BN2+MN2=MB2．
所以MN⊥NB．
所以MN⊥平面BNC，
所以MN⊥NC．                 （8分）
（III）取MB的中点，连接PE，则PE∥BC，又BC∥AD，AD⊥面ABMN，
所以BC⊥面ABMN，∴PE⊥面ABMN，
∴PE即为三棱锥M-PBN的高，且PE=BC=•
∴VM-BPN=S△BPN•PE=×=•（12分）