Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对∀n∈N₊，都满足3S_n+a_n=1．数列{b_n}满足．
（I）求数列{b_n}通项公式；
（II）若，求数列C_n的前n项和．

Answer

（I）由已知可得3S1+a1=1，从而可求a1，当n≥2时，3Sn-1+an-1=1，与已知式子相减可得4an-an-1=0，可证数列{an}是等比数列，可求an，代入．可求bn
（II）由（I）可得=，结合数列的特点，考虑利用错位相减求解数列的和
【解析】
（I）∵3Sn+an=1①
∴3S1+a1=1．
∴
当n≥2时，3Sn-1+an-1=1②
①②两式相减可得，4an-an-1=0即
∴数列{an}是以，为首项，以为公比的等比数列
∴
∵．
∴=3n
∴bn=3n-2
（II）由（I）可得=
∴+…+（3n-2）
∴=+…+（3n-5）
两式相减可得]
=-（3n-2）•
=
=
=
∴