Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D为AB的中点．
（I）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（II）求平面ABC和平面C₁AB夹角的余弦值．

Answer

（I）设BC1与CB1交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC1，利用线面平行的判定，可得AC1∥平面CDB1．
（II）过C作CE⊥AB于E，连接C1E，证明∠CEC1为二面角C1-AB-C的平面角，从而可求二面角C1-AB-C的余弦值．
（I）证明：设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点．

在△ABC1中，连接OD，∵D，O分别为AB，BC1的中点，∴OD为△ABC1的中位线，∴OD∥AC1，
又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．…（6分）
（II）【解析】
过C作CE⊥AB于E，连接C1E．
∵CC1⊥底面ABC，∴C1E⊥AB．
∴∠CEC1为二面角C1-AB-C的平面角．
在△ABC中，∵AC=3，BC=4，AB=5，∴
在直角△CC1E中，tan∠C1EC=，∴cos∠C1EC=
∴二面角C1-AB-C的余弦值为．…（12分）