Question

已知函数f（x）=-x³+（-1）x²+ax（a∈R）
（I）证明：函数f（x）总有两个极值点x₁，x₂且|x₁-x₂|≥2；
（II）设函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer

（I）求导函数，令f′（x）=0，则△=（a-2）2+4a=a2+4＞0，可得函数f（x）总有两个极值点x1，x2，利用韦达定理，可以证明|x1-x2|≥2；
（II）由（I）知函数的单调递增区间为（x1，x2）（不妨设x1＜x2），利用函数f（x）在（-1，1）上单调递增，可得（-1，1）⊆（x1，x2），从而可建立不等式组，即可确定a的取值范围．
（I）证明：求导函数可得f′（x）=-x2+（a-2）x+a
令f′（x）=0，则△=（a-2）2+4a=a2+4＞0，∴函数f（x）总有两个极值点x1，x2，
且x1+x2=a-2，x1x2=-a
∴|x1-x2|==≥2；  
（II）【解析】
由（I）知函数的单调递增区间为（x1，x2）（不妨设x1＜x2）
∵函数f（x）在（-1，1）上单调递增，
∴（-1，1）⊆（x1，x2）
∴
∴a≥
∴a的取值范围是[，+∞）．