Question

已知A、B是抛物线y²=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；
（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的距离的最小值．

Answer

（I）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，得y2-4my-4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点M（4，0）．
（II）P（）到直线x-y=0的距离d=，由此能求出点P到直线x-y=0的距离的最小值．
【解析】
（I）设直线AB方程为x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，
得y2-4my-4b=0，
则y1+y2=4m，y1y2=-4b，
∵OA⊥OB，，，
∴kOA•kOB===-=-1，b=4．
于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）．
（II）P（）到直线x-y=0的距离
d=
=
=
=
=+，
当m=时，d取最小值．