Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，，且M是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一点P，使得∠CPD最大？若存在，请求出∠CPD的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）取AD的中点N，连接MN，NF．利用三角形中位线定理，结合已知条件证出四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN，结合线面平行的判定定理，得到EM∥平面ADF．
（II）假设在EB上存在一点P，使得∠CPD最大．由线面垂直的判定与性质，证出CD⊥平面EBD．可得Rt△CPD中，当DP的长最短时∠CPD最大，此时P与重合时，由直角三角形三角函数的定义，可得∠CPD的正切值．
【解析】
（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN，NF．
在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
∴MN∥AB，MN=．
又∵EF∥AB，EF=，∴MN∥EF且MN=EF，∠CPD最大
∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．
又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，
∴EM∥平面ADF．…（6分）
（Ⅱ）假设在EB上存在一点P，使得∠CPD最大．
∵EB⊥平面ABD，CD⊆平面ABD，∴EB⊥CD．
又∵CD⊥BD，EB∩BD=B，∴CD⊥平面EBD．…（8分）
在Rt△CPD中，．
∵CD为定值，且∠CPD为锐角，
∴要使∠CPD最大，只要DP最小即可．显然，当DP⊥EB时，DP最小．
因此DB⊥EB，所以当点P在点B处时，使得∠CPD最大．…（11分）
Rt△PCD中，=．
所以在EB上存在一点P，使得∠CPD最大，且∠CPD的正切值为．…（13分）