Question

已知函数f（x）=（ax²-1）•e^x，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；
（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer

（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a，
（II）求出导函数，设g（x）=ax2+2ax-1，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=（ax2+2ax-1）•ex．x∈R…（2分）
依题意得f'（1）=（3a-1）•e=0，解得．经检验符合题意．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=（ax2+2ax-1）•ex，设g（x）=ax2+2ax-1，
（1）当a=0时，f（x）=-ex，f（x）在（-∞，+∞）上为单调减函数．…（5分）
（2）当a＜0时，方程g（x）=ax2+2ax-1=0的判别式为△=4a2+4a，
令△=0，解得a=0（舍去）或a=-1．
1°当a=-1时，g（x）=-x2-2x-1=-（x+1）2≤0，
即f'（x）=（ax2+2ax-1）•ex≤0，
且f'（x）在x=-1两侧同号，仅在x=-1时等于0，
则f（x）在（-∞，+∞）上为单调减函数．…（7分）
2°当-1＜a＜0时，△＜0，则g（x）=ax2+2ax-1＜0恒成立，
即f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（-∞，+∞）上为单调减函数．…（9分）
3°a＜-1时，△=4a2+4a＞0，令g（x）=0，
方程ax2+2ax-1=0有两个不相等的实数根，，
作差可知，
则当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数；
当时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在上为单调增函数；
当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数．…（13分）
综上所述，当-1≤a≤0时，函数f（x）的单调减区间为（-∞，+∞）；当a＜-1时，函数f（x）的单调减区间为，，函数f（x）的单调增区间为．…（14分）